Approximation affine

On considère la fonction \(h\) définie sur  \([-1~;+\infty[\) par  \(h(x)=\sqrt{1+x}\) .  Soit `mathcalC_h` sa courbe.

1. Déterminer l'ordonnée du point A appartenant à `mathcalC_h` et dont l'abscisse est égale à \(0.\)

2. Un logiciel de calcul formel donne \(h'(0)=\dfrac{1}{2}\) . En déduire l'équation de la tangente  \(\mathcal{T}\) à `mathcalC_h` en A.

3. Construire avec GeoGebra \(\mathcal{T}\) ,  `mathcalC_h` et placer le point A.

4. Effectuer un zoom sur le point A. Que constatez-vous ?

5. Justifier la proposition suivante :

                                   « Si \(x\) est proche de 0, alors \(\sqrt{1+x}\simeq 1+\dfrac{x}{2}.\)  »

On pourra accompagner le raisonnement d'une illustration graphique.

6. En utilisant cette approximation, donner une valeur approchée des nombres suivants sans l'aide de la calculatrice.

    a. \(\sqrt{1{,}002}\)               

    b. \(\sqrt{1{,}04}\)

    c.  \(\sqrt{4{,}016}\)    ( Aide  : \(4{,}016= 4\times 1{,}004\) .)

    d. \(\sqrt{0{,}98}\)