Approximation affine

On considère la fonction $h$ définie sur  $[-1;+\mathrm{\infty }[$ par  $h(x)=\sqrt{1+x}$ .  Soit $mathcal{C}_h$ sa courbe.

1. Déterminer l'ordonnée du point A appartenant à $mathcal{C}_h$ et dont l'abscisse est égale à $0.$

2. Un logiciel de calcul formel donne $h^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ . En déduire l'équation de la tangente  $\mathcal{T}$ à $mathcal{C}_h$ en A.

3. Construire avec GeoGebra $\mathcal{T}$ ,  $mathcal{C}_h$ et placer le point A.

4. Effectuer un zoom sur le point A. Que constatez-vous ?

5. Justifier la proposition suivante :

                                   « Si $x$ est proche de 0, alors $\sqrt{1+x}\simeq 1+{\displaystyle \frac{x}{2}}.$  »

On pourra accompagner le raisonnement d'une illustration graphique.

6. En utilisant cette approximation, donner une valeur approchée des nombres suivants sans l'aide de la calculatrice.

    a. $\sqrt{\mathrm{1,002}}$               

    b. $\sqrt{1,04}$

    c.  $\sqrt{\mathrm{4,016}}$    ( Aide  : $\mathrm{4,016}=4\times \mathrm{1,004}$ .)

    d. $\sqrt{0,98}$